logo
Лабы

Жесткие системы дифференциальных уравнений

В некоторых системах дифференциальных уравнений описанные ранее методы численного решения дают плохие результаты. А именно, для достижения заданной точности приходится выбирать очень мелкий шаг, т.е. выполнять слишком большой объем вычислений. К таким системам относятся жесткие системы дифференциальных уравнений.

Определение. Система дифференциальных уравнений (7) называется жесткой вдоль решения , если выполняются следующие два условия:

  1. собственные числа матрицыимеют отрицательные действительные части при любом;

  2. число жесткости велико.

Напомним, что матрица– это матрица Якоби, т.е. матрица из частных производных, элементы которой имеют вид. Перед вычислением собственных чисел в эти элементы вместоy нужно подставить , т.е. то решение, вдоль которого исследуется система на жесткость. Полученная матрица будет зависеть только отx, и ее собственные числа тоже будут зависеть от x. Условие 2 в определении жесткой системы оставляет некоторый произвол в понимании слова «велико». Насколько велико должно быть число жесткости g, определяется в зависимости от конкретной задачи. Обычно система считается жесткой, если число жесткости порядка нескольких сотен. Если система (7) – линейная, то матрица зависит только отx, а если система линейная с постоянными коэффициентами, то эта матрица является постоянной, т.е. числовой (наиболее простой случай). Для линейных систем условие жесткости не зависит от рассматриваемого решения.

Вот цитата из посвященной жестким уравнениям монографии К.Деккера и Я.Вервера: «Сущность явления жесткости состоит в том, что решение, которое нужно вычислить, меняется медленно, однако существуют быстро затухающие возмущения. Наличие таких возмущений затрудняет получение медленно меняющегося решения численным способом».

Для решения жестких систем дифференциальных уравнений разработаны специальные методы. Они используют неявные схемы типа интерполяционных методов, указанных выше, и используют матрицу Якоби правых частей системы уравнений.

Возможны случаи, когда система дифференциальных уравнений является жесткой только на какой-то части решения, а на остальной части жесткой не является. В этом случае можно первую часть решения найти с помощью методов для жестких систем, а другую часть – с помощью методов, описанных выше.