Решение линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется решить систему дифференциальных уравнений

с начальными условиями ,,.

Создаем матрицу правой части и вектор начальных условий. Находим собственные числа матрицыA: . Создаем матрицу собственных векторов. Выводим ее на экран. Теперь мы можем записать

общее решение (на бумаге)

. Находим произвольные постоянные ,,,

. Выведем C на экран: . Таким образом,,,. Для записи искомого решения создадим матрицуи матрицу, полученную из матрицыF умножением ее столбцов на элементы вектора C: ,. Итак,, или в терминах условия:

, ,.

Поставленная задача полностью решена.

Может показаться удивительным, что в промежуточных расчетах использовались десятичные дроби с большим числом знаков, а в ответе получились целые коэффициенты. Во-первых, если установить вывод на экран 15 знаков после десятичной точки, то обнаружится, что часть элементов матрицы T не являются целыми числами. Во-вторых, собственные числа матрицы A оказались целыми числами, поэтому собственные векторы, которые определяются неоднозначно, можно взять тоже с целыми координатами. Соответственно, матрица C будет иметь рациональные элементы и в ответе коэффициенты при экспонентах тоже должны быть рациональными числами. В нашем случае вектор начальных условий был задан удачно, и вместо рациональных коэффициентов получились целые. В этой задаче все действия можно выполнить в символьных операциях. Тогда матрица F будет записана в виде дробей. Легко подобрать такие множители, что после умножения на них столбцы этой матрицы станут целыми числами. Дальнейшие действия будут давать только целые числа.

Рассмотрим случай, когда среди собственных чисел матрицы A есть комплексные. Пусть требуется найти решение системы уравнений с начальными условиями,,.

Действуем так же, как в предыдущем случае. Создаем матрицу коэффициентов правой части, вектор начальных условий, находим собственные числа и матрицу из собственных векторов:

, ,,.

Видим, что среди собственных чисел есть пара комплексно сопряженных. Собственные векторы тоже будут содержать комплексные компоненты. Для экономии места мы здесь их не выписываем. Желающие могут посмотреть их на экране. Из начальных условий находим произвольные постоянные в общем решении (оно здесь не выписано): . Создаем матрицу коэффициентов решения,. Комплексным собственным числам соответствуют два первых столбца. Поэтому находим

, .

Записываем (на бумаге) искомое решение:

.

Запись по координатам можете сделать самостоятельно.

Решим неоднородную систему. Пусть требуется решить систему уравнений с начальными условиями,.

Создаем матрицу коэффициентов правой части, векторы начальных условий, собственных чисел и матрицу собственных векторов: ,,,. Теперь найдем частное решение системы. В правой части неоднородность создает функция, равная. Составим число. Среди собственных чисел матрицыA такого числа нет. Значит, можно использовать метод неопределенных коэффициентов, описанный в теоретической части. Так как мы используем средства МС, то удобно все неизвестные коэффициенты включить в один неизвестный вектор, который обозначим a. Чтобы использовать привычную нумерацию компонент, установим начальное значение индекса равным 1. Тогда в соответствии с теорией частное решение неоднородной системы можно записать (на бумаге) в виде . Подставив в систему, получим равенство

.

Приравняем коэффициенты при синусе и косинусе в правой и левой части. Воспользуемся приближенными вычислениями, так как они чаще встречаются в инженерной практике. Напомним, что для записи уравнений знак = нужно брать с панели Boolean. Создадим блок приближенного решения системы, но предварительно зададим начальное приближение вектора a:

given

Мы получили, что.Теперь запишем (на бумаге) общее решение неоднородного уравнения. Для этого найдем матрицу собственных векторов матрицы A:,.Таким образом.Используя начальные условия, получаем .Заметим, что.Создадим вектор.Находим произвольные постоянные . Находим коэффициенты при экспонентах,.Искомое решение запишется в виде.Покоординатная запись этого решения

,

.

Если все операции выполнять в символьном режиме, то ответ будет получен в виде

.