Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

• перестановку уравнений;

• умножение уравнения на ненулевую константу;

• сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы   с   строк и   столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа   линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы   обозначается   ( ) или  . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков

Пусть   — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы   является:

• ноль, если   — нулевая матрица;

• число  , где   — минор матрицы   порядка  , а   — окаймляющий к нему минор порядка  , если они существуют.

• Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы   порядка   равны нулю ( ). Тогда  , если они существуют.

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице   найден ненулевой минор  -го порядка  . Рассмотрим все миноры  -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор  ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен  . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Свойства:

• Теорема (о базисном миноре): Пусть   — базисный минор матрицы  , тогда:

  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

  2. любая строка (столбец) матрицы   есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

• Следствия:

• Если ранг матрицы равен  , то любые   строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

• Если   — квадратная матрица, и  , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

• Пусть  , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно  .