36 Линейная зависимость трех векторов на плоскости

Утверждение 1. На прямой (на плоскости и в пространстве) существует нулевой вектор (соответственно два неколлиниарных и три некомпланарных вектора) .

Доказательство. В случае прямой достаточно взять две несовпадающие точки О и А(рис. 1, а), тогда вектор а = ≠ 0. На плоскости достаточно взять три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой (рис.1, б), тогда векторы а = и b = неколлиниарны. В пространстве достаточно взять четыре точки О, А, В, С, не лежащие в одной плоскости (рис. 1, в), тогда векторы а = , b = , с = некомпланарны. Теорема доказана.

Утверждение 2. На прямой ( на плоскости и в пространстве) всякий вектор линейно выражается через любой ненулевой вектор (соответственно любые два неколлиниарных и любые три некомпанарных вектора).

Доказательство. 1. Пусть a, b− векторы на прямой и a ≠ 0. Отложим их от одной точки О прямой. Пусть а = , b = (рис. 2, а). Если b = 0, то b = 0a. Если b ≠ 0, то, взяв

согласно определению произведения вектора на число получим, что b = αa. 2. Пусть а, b, с − векторы плоскости и a, b неколлиниарны (значит, ни один из них не равен 0). Отложим эти векторы от одной точки О плоскости. Пусть а = , b = , с = (рис. 2, б). Если с = 0, то с = 0а + 0b. Если с ≠ 0, то проведем из точки С прямые, параллельные прямым ОВ и ОА, до пересечения с прямыми ОА и ОВ соответственно. Пусть точки А₁, B₁ − точки пересечения этих прямых (существование точек пересечения следует из неколлиниарности и ). Тогда = ₁ + ₁. Отсюда и из первой части утверждения получим, что c = αa + βb. 3. Пусть a, b, c, d − векторы пространства и a, b, c некомпланарны (значит, попарно неколлиниарны и, тем более, ни один из них не равен 0). Отложим эти векторы от одной точки О. Пусть а = , b = , с = , d = (рис. 2, в). Если d = 0, то d = 0а + 0b + 0c. Если d ≠ 0, то проведем из точки D плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОАС, ОАВ (это плоскости, так как , , попарно неколлиниарны), до пересечения с прямыми ОА, ОВ, ОС соответственно. Пусть А₁, B₁, C₁ −точки пересечения (существование точек пересечения следует из некомпланарности , , ). Тогда = ₁ + ₁ + ₁. Осюда и из первой части утверждения получим, что d = αa + βb + γc. Теорема доказана.

Теорема 2.7. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллиниарны.

Теорема 2.8. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a, b, c линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через другие. Пусть c = αa + βb. Усли а и b коллиниарны, то а, b, с коллиниарны и, тем более, компланарны. Если a и b неколлинеарны, то отложим векторы a, b, c от одной точки (рис. 2, б). Тогда вектор с, являясь диагональю параллелограмма, построенного на векторах αa и βb, окажется в той же плоскости, что и a, b. Значит, a, b, c компланарны. Достаточность.Пусть a, b, c компланарны, т.е. параллельны одной плоскости. Будем считать, что a, b неколлиниарны (так как если a, b коллиниарны, то линейная зависимость a, b, c следует из линейной зависимости подсистемы). Отложим a, b и с от одной точки. Тогда они окажутся в одной плоскости и на основании утверждения 2 будем иметь c = αa + βb. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c линейно зависимы. Теорема доказана.