33. Признаки линейной зависимости векторов

Теорема. При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число, а при сложении складываются соответствующие координаты.Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора xи yи некоторое произвольное число . Разложим векторы по базису l₁, l₂, ..., l_n, получим x=x₁l₁+x₂l₂+...+x_nl_nи y=y₁l₁+y₂l₂+...+y_nl_nи найдем произведение

и сумму x + y

x+y = (x₁l₁+x₂l₂+...+x_nl_n)+(y₁l₁+y₂l₂+...+y_nl_n)=

=(x₁+y₁)l₁+(x₂+y₂)l₂+...+(x_n+y_n)l_n =>

=> x+y = [(x₁+y₁);(x₂+y₂);...;(x_n+y_n)].

Доказанная теорема очень важна в математике, так как из нее следует признак линейной зависимости и независимости векторов. Покажем это. Пусть в некотором n -мерном пространстве Rзадана система векторов:

Умножим каждый из векторов на некоторое число и сложим их все друг с другом. В результате получим линейную комбинацию этих же векторов, которая является новым вектором, равным, по определению нулю

Распишем систему (2) в координатной форме

откуда следует однородная система уравнений

из коэффициентов которой составляют матрицу

Равенство (3) эквивалентно равенствам (2) и (4). На основании теоремы можно утверждать, что векторы системы (1) линейно независимы тогда и только тогда, когда однородная система (4) имеет единственное нулевое решение, что на практике обозначает, что ранг матрицы (5) равен количеству векторов системы m