logo
ангеом все ответы

Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы   с   строк и   столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа   линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы   обозначается   ( ) или  . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкогофранцузского и ряда других языков

Пусть   — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы   является:

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Пусть в матрице   найден ненулевой минор  -го порядка  . Рассмотрим все миноры  -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор  ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен  . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Свойства:

  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение   для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если  , то их ранги равны.