Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:
перестановку уравнений;
умножение уравнения на ненулевую константу;
сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:
Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.
Ранг матрицы
Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.
Обычно ранг матрицы обозначается ( ) или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков
Пусть — прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы является:
ноль, если — нулевая матрица;
число , где — минор матрицы порядка , а — окаймляющий к нему минор порядка , если они существуют.
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка равны нулю ( ). Тогда , если они существуют.
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:
Метод элементарных преобразований
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице найден ненулевой минор -го порядка . Рассмотрим все миноры -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.
Свойства:
Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:
базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
Если ранг матрицы равен , то любые строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно .
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.
- Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- Описание
- Достоинства метода
- Следствия
- Свойства определителей
- 10. Теорема о разложении определителей по строкам, по столбцам:
- Формулировка
- Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
- Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)
- 11. Теорема Крамера
- Описание метода
- Вычислительная сложность
- 12. Теорема о определителях произведении матриц?
- 13. Теорема о нахождении обратной матрицы с помощью алгебраической дополнении
- 14. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарной преобразовании
- 15. Поле комплексных чисел. Алгебраическая формула комплексных чисел
- Алгебраическая форма
- 18. Нахождения корня комплексного числа в тригонометрической форме?
- Операции над многочленами.
- 21. Деление с остатком в кольце многочленов?
- 22. Алгоритм Евклида в кольце многочленов?
- 23. Нод и нок двух многочленов?
- 24. Корни многочленов. Простые и кратные формы?
- 25. Деление многочленов на двух член! Схема Хорнера?
- 26 Неприводимый многочлен и их свойства
- Определение
- Свойства
- 27 Основная теорема поля комплексных чисел без доказательства и ее следствия
- Некоторые следствия из аксиом поля
- Определение поля комплексных чисел
- 28 Неприводимые многочлены над полем действительных чисел?
- Определение
- Свойства
- Примеры
- Конечные поля
- 29 Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна?
- 30 Векторная пространства. Линейная оболочка векторов?
- 31. Базис и ранг системы векторов?
- 32. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
- 33. Признаки линейной зависимости векторов
- 34 Необходимые и достаточные условия линейной независимости систем векторов?
- 35 Линейная зависимость двух векторов на прямой
- 36 Линейная зависимость трех векторов на плоскости
- 37 Линейная зависимость четырех векторов в пространстве
- 38 . Базис и размерность над пространством
- 39 Координаты вектора в данном базисе . Координаты точки
- 40 Скалярное произведение векторов свойства
- 2.Свойтсва скалярного произведения векторов.
- 43. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведения.
- Геометрические свойства векторного произведения
- 44.Аффинная система координат. Прямоугольная система координат?
- 45 Радиус Вектора Расстояние между двумя точками
- 46 Уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- Уравнение прямой, проходящей через две точки
- Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- 47 Нормальный и направляющий вектор на прямой
- 48 Расположение двух прямых Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- 49.Угол между двумя прямыми
- 50.Расстояние от точки до прямой