18. Нахождения корня комплексного числа в тригонометрической форме?

Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если -аргументы чисел соответственно, то

Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень:

(8)

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называется формулой Муавра.

Число называется корнем степени , из числа обозначается ,если

Если =0, то при любом n уравнение имеет одно и только одно решение z=0.

Пусть теперь .Представим z и  в тригонометрической форме:

, .

Тогда уравнение примет вид

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2. Следовательно,

или

.

Таким образом, все решения уравнения даются формулой

В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем других комплексных чисел.Формула (9) называется второй формулой Муавра.Таким образом, если , то существует ровно n корней степени n из числа : все они содержатся в формуле(9).В частности, если =2, то уравнение имеет два корня:

то есть эти корни симметричны относительно начала координат.Также из формулы (9) нетрудно получить, что если то точки, изображающие все корни уравнения , являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в

окружность с центром в точке z=0 и радиусом .Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например,

используя запись , следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чисел i и-i,или одно, и, если одно, то какое именно.

19. Корни из единицы п-ой степени?

20. Кольцо многочленов. Операции над многочленами?

Обозначим через K(x) множество многочленов с коэффициентами из кольца K. На множестве этих многочленов можно определить операции сложения и умножения многочленов. Кольцо многочленов коммутативно если исходное кольцо коммутативно.