29 Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна?

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, Формулировка Пусть - многочлен над факториальным кольцом R ( ), и для некоторого неприводимого элемента выполняются следующие условия:

• ,

• для любого i от 0 до n-1,

• .

Тогда многочлен неприводим над F — полем частных кольца R.Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел , а F — поле рациональных чисел .Доказательство Предположим обратное: , где и многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

По условию и R факториально, поэтому либо либо , но не то и другое вместе ввиду того, что . Пусть и . Все коэффициенты не могут делиться на , так как иначе бы это было бы верно для . Пусть — минимальный индекс, для которого не делится на . Отсюда следует:

Так как и для всех то , но это невозможно, так как по условию и . Теорема доказана.