Свойства

• Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.

• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.

• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен , где и ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.

• Если — конечное поле из элементов, а — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из .

• Предположим ― целозамкнутое кольцо с полем частных (например и ) и ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда в , причем и имеют старший коэффициент 1, то .

• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области , то не существует разложения , где и отличны от константы.

  • Например, многочлен со старшим коэффициентом прост в (и, следовательно, неприводим в ), если прост многочлен , полученный из редукцией коэффициентов по модулю простого числа.