21. Деление с остатком в кольце многочленов?
Теорема 1.13.8 (алгоритм деления с остатком в кольце многочленов). Для любых многочленов , , существуют (и притом единственные) многочлены такие, что:
1)f(x)=g(x)q(x)+r(x) ;
2)либо r(x)=0, либо , .
Доказательство-алгоритм (деление многочленов столбиком).
Пусть f(x) = anxn+...+a1x+a0, g(x) = bsxs+...+b1x+b0, .
Если n<s, то утверждение 1) очевидно:
Пусть . Тогда:
Складывая все эти равенства и сокращая, получаем
т. е. f(x)=q(x)g(x)+r(x), где
Если f(x)=g(x)q(x)+r(x)=g(x)q'(x)+r'(x), при этом r(x),r'(x) или равны нулю, или имеют степень, меньшую чем , то g(x)(q(x)-q'(x))=r'(x)-r(x). Если , то получаем противоречие, поскольку степень левой части , а многочлен в правой части или нулевой, или его степень . Итак, q(x)=q'(x), и поэтому r'(x)=r(x).
Замечание 1.13.9. Если K - подполе поля K' (например, ), , f(x)=g(x)q(x)+r(x) - деление с остатком в кольце многочленов K'[x], то .
- Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- Описание
- Достоинства метода
- Следствия
- Свойства определителей
- 10. Теорема о разложении определителей по строкам, по столбцам:
- Формулировка
- Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
- Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)
- 11. Теорема Крамера
- Описание метода
- Вычислительная сложность
- 12. Теорема о определителях произведении матриц?
- 13. Теорема о нахождении обратной матрицы с помощью алгебраической дополнении
- 14. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарной преобразовании
- 15. Поле комплексных чисел. Алгебраическая формула комплексных чисел
- Алгебраическая форма
- 18. Нахождения корня комплексного числа в тригонометрической форме?
- Операции над многочленами.
- 21. Деление с остатком в кольце многочленов?
- 22. Алгоритм Евклида в кольце многочленов?
- 23. Нод и нок двух многочленов?
- 24. Корни многочленов. Простые и кратные формы?
- 25. Деление многочленов на двух член! Схема Хорнера?
- 26 Неприводимый многочлен и их свойства
- Определение
- Свойства
- 27 Основная теорема поля комплексных чисел без доказательства и ее следствия
- Некоторые следствия из аксиом поля
- Определение поля комплексных чисел
- 28 Неприводимые многочлены над полем действительных чисел?
- Определение
- Свойства
- Примеры
- Конечные поля
- 29 Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна?
- 30 Векторная пространства. Линейная оболочка векторов?
- 31. Базис и ранг системы векторов?
- 32. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
- 33. Признаки линейной зависимости векторов
- 34 Необходимые и достаточные условия линейной независимости систем векторов?
- 35 Линейная зависимость двух векторов на прямой
- 36 Линейная зависимость трех векторов на плоскости
- 37 Линейная зависимость четырех векторов в пространстве
- 38 . Базис и размерность над пространством
- 39 Координаты вектора в данном базисе . Координаты точки
- 40 Скалярное произведение векторов свойства
- 2.Свойтсва скалярного произведения векторов.
- 43. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведения.
- Геометрические свойства векторного произведения
- 44.Аффинная система координат. Прямоугольная система координат?
- 45 Радиус Вектора Расстояние между двумя точками
- 46 Уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- Уравнение прямой, проходящей через две точки
- Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- 47 Нормальный и направляющий вектор на прямой
- 48 Расположение двух прямых Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- 49.Угол между двумя прямыми
- 50.Расстояние от точки до прямой