39 Координаты вектора в данном базисе . Координаты точки

1. Пусть e₁ − базис V₁ и а − произвольный вектор из V₁. Отложив эти векторы от одной точки О прямой V₁ (рис. 2,а) , так что e₁ = , а = ₁, получим, что а = xe₁, где

(3.1.1)

Введем на прямой V₁ направление: пусть положительное направление на прямой совпадает с направлением базисного вектора e₁. Тогда согласно (3.1.1) и (1.1.1) получим

(3.1.2)

Ось, положительное направление которой совпадает с направлением вектора e₁, будем называть осью, определенной вектором e. 2. Пусть e₁, e₂ − базис V₂ и а − произвольный вектор из V₂. Отложив эти векторы от одной точки О плоскости V₂ (рис. 2,б), так что e₁ = ₁, e₂ = ₂, а = , введя направления на прямых ОЕ₁ и OE₂, совпадающие с направлениями базисных векторов e₁ и e₂, получим в соответствии с (3.1.2), что а = xe₁ + ye₂,

(3.1.3)

где А₁, A₂ − проекции точки А на прямые OE₁ и OE₂ параллельно соответственно прямым OE₂ и OE₁. 3. Пусть e₁, e₂, e₃ − базис V₃ и a − произвольный вектор из V₃. Поступая аналогично (рис. 2,в), получим а = xe₁ + ye₂ + ze₃,

(3.1.4)

где A₁, A₂, A₃ − проекции точки А на прямые OE₁, OE₂ и OE₃,параллельные соответственно плоскостям OE₂E₃, OE₁E₃ и OE₁E₂.

Координатами точки А в аффинной системе координат {O; e₁, e₂, e₃} называются координаты радиус - вектора r_A этой точки в базисе e₁, e₂, e₃. Тот факт, что точка А имеет координаты x, y, z, обозначают символом А( x, y, z). Итак,

r_A = xe₁ + ye₂ + ze₃ ⇔ A(x, y, z). 3.2.1

Замечание 1.Из определения следует, что любая точка А пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем точки A₁(x₁, y₁, z₁) и A₂(x₂, y₂, z₂) совпадают тогда и только тогда, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂, z₁ = z₂.