2.Свойтсва скалярного произведения векторов.

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

41. Векторное произведение векторов. Свойства. Векторное произведение —это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности». Иными словами векторным произведением можно назвать произведение векторов   и   называется вектор  , который определяется следующими условиями: 1) Его модуль равен   где   - угол между векторами   и  . 2) Вектор   перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами   и  . 3) Вектор   направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы   и  , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Основные свойства векторного произведения: 1) Векторное произведение   равно нулю, если векторы   и   коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым. 2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

С помощью векторного произведения можно 1)вычислить площадь параллелограмма и треугольника:

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  ,  , если  ,   .

Решение.  ,

Поэтому

. 2)Векторное произведение позволяет проверить коллинеарность двух векторов:  3)Векторное произведение позволяет по двум заданным векторам указать перпендикулярный им вектор 4) Механическая интерпретация векторного произведения.

42. Смешанное произведение векторов. Нахождение объема параллелепипеда с помощью смешанного произведения. Смешанным произведением трех векторов  ,  ,   называется число  . Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Пусть ребрами параллелограмма являются векторы  ,  ,   образующие правую тройку векторов и вектор   Имеем  ∙ , так как   – площадь основания построенного на векторах    , а   – высота параллелограмма, то   – объем параллелограмма построенного на правой тройке векторов  ,    . Для левой тройки векторов  Получаем,  , где   – объем параллелепипеда построенного на векторах  ,  ,  .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер):  .

2. Смешанное произведение не меняется  знаков векторного и скалярного умножения: , поэтому смешанное произведение записывают  .

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей:  , .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов  ,   и   равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны:  ,  ,   – компланарны .

Доказательство. Предположим, что векторы  ,   и   – не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем  , т.е.  , но это противоречит условию, согласно которого,  . Следовательно, векторы  ,   и   – компланарны.

Обратно, пусть  ,   и   – компланарны. Тогда вектор   и перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы  ,   и  , значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, например   Это значит, что    .