31. Базис и ранг системы векторов?

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы. Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Теорема. Если система векторов линейно-зависима, то она эквивалентна системе

Доказательстово. Действительно, пусть одновременно неравные нулю числа такие, что . Предположим, что _S 0 , разделим эту сумму на _S, получим: или

, где .

Заменим систему векторов эквивалентной системой с помощью следующего элементарного преобразования:

при и . Тогда вектор . Поменяв местами векторы и получим систему вида . Что и требовалось доказать.

Следствие. Произвольную систему векторов элементарными преобразованиями можно привести к системе вида , где

линейно независимая система векторов.

Число будем называть рангом системы векторов , а систему

– базисом системы векторов .

Отметим, что ранг системы векторов не зависит от конкретной цепочки элементарных преобразований. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько базисов. Понятие базиса распространяется и на пространство Rn, которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность n-мерных векторов. Определение 3. Система n векторов называется базисом пространства Rn,если: 1) векторы этой системы линейно независимы; 2) всякий вектор из Rn линейно выражается через векторы данной системы.