34 Необходимые и достаточные условия линейной независимости систем векторов?

. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной независимости). a₁,…,a_n – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {a_k} – л.з. ): . Пусть, для определенности, а₁ – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): }

Теорема (необходимое и достаточное условие линейной независимости в координатной форме). Cистема векторов из Rⁿ линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются компоненты векторов системы:

Следствиями из этой теоремы являются следующие утверждения:

1. если , то система векторов из Rⁿ — линейно зависима;

2. любая система векторов из Rⁿ, k > n — линейно зависима

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{ }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }