logo
ангеом все ответы

37 Линейная зависимость четырех векторов в пространстве

Теорема 2.9. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Будем считать, что в четверке векторов a, b, c, d векторы a, b, c некомпланарны (так как если a, b, c компланарны, то линейная зависимость a, b, c, d вытекает из линейной зависимости подсистемы). Тогда на основании утверждения 2 будем иметь d = αa + βb + γc. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c, d линейно зависимы. Теорема доказана.

Если первые три вектора -- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией

Предложение Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).