44.Аффинная система координат. Прямоугольная система координат?

Пусть в пространстве V₃ (на плоскости V₂ или на прямой V₁) зафиксиоована некотороая точка О, называемая полюсом. Для любой точки А вектор r_A = называется радиус - вектором точки А относительно полюса О. Задание точки ее радиус - вектором определяет, очевидно, биективное отображение. Тот факт, что точка А имеет радиус - вектор r, обозначают символом А(r). Если в пространстве V₃ завиксираваны точка О и базис e₁, e₂, e₃, то говорят, что в пространстве задана аффинная система координат (или общая декартова система координат) {O; e₁, e₂, e₃}. Точка О называется началом координат; оси, проходящие через начало координат и определенные векторами e₁, e₂, e₃, называются осями коордиеат и обозначаются Ох (ось абцисс), Оу (ось ординат), Oz (ось аппликат) соответственно. Плоскость, определяемая осями координат Ох и Оу (Ox и Oz, Oy и Oz), называется координатной плоскостью Oxy (Oxz, Oyz соответственно). В этой терминалогии аффинная система координат обозначается также символом Oxyz. Координатами точки А в аффинной системе координат {O; e₁, e₂, e₃} называются координаты радиус - вектора r_A этой точки в базисе e₁, e₂, e₃. Тот факт, что точка А имеет координаты x, y, z, обозначают символом А( x, y, z). Итак,

r_A = xe₁ + ye₂ + ze₃ ⇔ A(x, y, z). 3.2.1

Замечание 1.Из определения следует, что любая точка А пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем точки A₁(x₁, y₁, z₁) и A₂(x₂, y₂, z₂) совпадают тогда и только тогда, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂, z₁ = z₂. Замечание 2.Координаты точки A(x, y, z) определяются соотношениями (3.1.4) . При этом, как легко видеть, проекции A₁, A₂, A₃ точки А имеют координаты A₁(x, 0, 0), A₂(0, y, 0), A₃(0, 0, z) . Аналогично определяются аффинные системы координат {O; e₁, e₂} на плоскости V₂ и {O; e₁} на прямой V₁, а также координаты точки А(x, y) и A(x) соответственно. При этом имеют место очевидные аналоги соотношения (3.2.1) и обоих замечаний. В дальнейшем все факты будем излагать только в терминах V₃. Теорема 3.1Если A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) − точки пространства, заданные своими координатами в системе координат {O; e₁, e₂, e₃}, то вектор а = в базисе e₁, e₂, e₃имеет координаты а = {x₂ = x₁, y₂ = y₁, z₂ = z₁}. Д оказательство. Действительно, = − (рис. 1) и, следовательно, а = r_B − r_A. Так как r_A = {(x₁, y₁, z₁}, r_В = {(x₂, y₂, z₂}, то в силу свойства линейности координат отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. Деление отрезка в данном отношении. Гворят, что точка М ≠ В делит отрезок [АВ] в отношении λ, если = λ (рис. 2). Обозначение: (АВМ) = λ. Из определения следует, что точка М расположена на прямой АВ, при этом (рис. 2):

1. если М − внутренняя точка отрезка [AB], то λ > 0;

2. если М = А, то λ = 0;

3. если М расположена вне отрезка [AB], то λ < 0.

Заметим, что других вариантов расположения точки М не может быть и что в одном из возможных вариантов λ не равно -1. Теорема 3.2Пусть A(r₁), B(r₂), M(r₃) − точки пространства и (АВМ) = λ. Тогда

(3.2.2)

Доказательство. Условие (АВМ) = λ означает, что = λ или r₃− r₁ = λ(r₂ −r₃). Отсюда следует (3.2.2). Теорема доказана. Следствие.Соотношение (3.2.2) в координатной форме имеет следующий вид: для A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), М(x₃, y₃, z₃)

(3.2.3)

Прямоугольные координаты. Базис e₁, … ,e_n, где n = 1, 2, 3, называется ортонормированным, если векторы базиса

4. имеют единичную длину и, в случае n >1,

5. попарно перпендикулярны.

6. Аффинная система координат {O; e₁, e₂, e₃}, соответствующая ортонормированному базису e₁, e₂, e₃, называется прямоугольной декартовой системой координат.