Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

• Решить с помощью теоремы Кронекера-Капелли систему уравнений:   Решение    Из последнего преобразования вытекает, что  . Начальная система эквивалентна системе:  .     Среди миноров второго порядка, составленных из элементов матрицы коэффициентов при неизвестных, существует хотя бы один отличный от нуля. В нашем случае их несколько. Если отличный от нуля минор выберем из коэффициентов при двух неизвестных, то таким образом мы переведем эти неизвестные в разряд основных. Пусть, например, это неизвестные х₁, х₂. Тогда, перенеся остальные неизвестные в правую часть системы уравнений, получим:   .    Главный определитель этой системы  . Найдем  . .    По правилу Крамера    Последние равенства определяют общее решение системы уравнений. Чтобы получить частные решения, достаточно предоставить свободным неизвестным х₃, х₄, х₅ некоторых числовых значений.     Например, если     х₃ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0,     имеем решение  ;     если х₃ = 2, х₄ = 1, х₅ = –2 — решение (3, 5, 2, 1, –2) и т.д.     Таких частных решений в данном случае можно построить бесконечное количество.

• 9 Определители. Свойства определителей?

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы   детерминант определяется как

Для матрицы   определитель задаётся рекурсивно:

,    где   — дополнительный минор к элементу  . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы   такова:

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):