12. Теорема о определителях произведении матриц?

Теорема. Определитель произведения двух матриц п-го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Пусть даны матрицы п-го порядка и и пусть . Построим определитель  порядка 2п: в его верхнем левом углу поставим матрицу А, в правом нижнем – матрицу В, в правом верхнем углу поставим нули, а на главной диагонали левого нижнего угла поставим числа –1, заполнив свободные места нулями. Определитель  будет иметь вид

Применим к определителю D теорему Лапласа о разложении по первым п строкам. В результате получим

D = detAdetB

Преобразуем определитель D так, чтобы при неизменности его значения все элементы b_ij стали нулями. Для этого к п+1-му столбцу прибавим первый столбец, умноженный на b₁₁, второй столбец, умноженный на b₂₁ и т. д. К (п + 2)му столбцу прибавим первый, умноженный на b₁₂, второй, умноженный на b₂₂ и т. д. Вообще к (n + j)-столбцу, где j =1,2,,п, прибавим сумму первых п столбцов, умноженных соответственно на .

Такие преобразования привели к тому, что в правом нижнем углу определителя (будем называть его по-прежнему D, так как величина его не изменилась) оказались только нули. В правом верхнем углу определителя теперь появятся числа, определённые следующим образом: в i-той строке в столбце с номером n + j будет стоять сумма . Эта сумма, исходя из правила перемножения матриц, равна элементу матрицы . Таким образом, в правом верхнем углу оказалась матрица С. Определитель D принял вид

Применим теперь разложение определителя  по последним п столбцам. Дополнительный минор для минора, стоящего на пересечении первых п строк и последних п столбцов равен (–1)^п. Для самого минора сумма s, определяемая формулой (*), будет равна

Отсюда получается: