logo search
Лабы

Вычислительные методы для решения нелинейных уравнений

Пусть задано уравнение

, (1)

где – непрерывная функция одного вещественного аргумента, определенная на некотором промежутке числовой оси.

Корень или, что то же самое, решение уравнения (1) – это число, которое после подстановки его в левую часть превращает (1) в верное числовое равенство.

К сожалению, найти корни уравнения удается крайне редко. Как правило, их можно найти только приближенно. Что это значит?

Определение. Найти корень (решение) уравнения (1) с точностью ε означает указать любое число такое, что

, (2)

где c – точный корень уравнения (1).

Естественно, что точный корень нам неизвестен, иначе не нужно было бы находить приближенный корень. Поэтому непосредственная проверка неравенства (2) невозможна. Но есть методы, которые позволяют сказать, что это неравенство выполнено, хотяостается неизвестным. Один из них, пожалуй, наиболее простой, базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция непрерывна на [a; b] и на концах имеет разные знаки, т.е. , то на [a; b] есть хотя бы один корень уравнения (1).

Пусть мы нашли какое-то число , которое, как мы подозреваем, будет приближенным корнем с точностьюε. Положим ,. Еслииимеют разные знаки, то на отрезке [a; b] по теореме есть корень . Тогда его отличие отне может быть большеε (рис.1). Поэтому

мы можем гарантировать, что – решение уравнения (1) с точностьюε.

Уравнение (1) может иметь несколько корней, а все методы приближенного нахождения дают только один корень. Поэтому на первом этапе нужно выполнить процесс отделения корней, т.е. выделить ряд отрезков, на каждом из которых находится только один корень. Это можно сделать, например, с помощью графика функции . На рис. 2 точкиосиOx являются корнями уравнения (1).

Если бы график был более точным, тоточки дали бы точные корни. Но так как график строится не абсолютно точно (ошибка хотя бы на толщину линии), то дают лишь приближенное представление о корнях. По графику мы можем выделить отрезки, например ,,, на каждом из которых содержится только один корень. Если отрезки брать маленькими, то за счет ошибок в проведении графика может оказаться, что корень лежит за пределами отрезка. Поэтому желательно проверить наличие корня на отрезке по теореме, приведенной выше. Отрезки желательно брать небольшими, чтобы функция на каждом была монотонна. Тогда мы можем гарантировать, что корень на отрезке только один.

Если график приходится строить без использования компьютера, то уравнение (1) можно попробовать преобразовать к виду где графикиg(x) и h(x) строятся легко. Тогда корнями уравнения (1) будут абсциссы точек пересечения графиков и(рис.3).

Для нахождения корней можно применять следующие методы: