Геометрические свойства векторного произведения

Модуль векторного произведения   равняется площади   параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах   и    (Если   — единичный вектор, ортогональный векторам   и   и выбранный так, что тройка   — правая, а   — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула: При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным. Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны. Смешанным произведением трех векторов  ,  ,   называется число  . Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Пусть ребрами параллелограмма являются векторы  ,  ,   образующие правую тройку векторов и вектор   

Имеем  ∙ , так как   – площадь основания построенного на векторах    , а   – высота параллелограмма, то   – объем параллелограмма построенного на правой тройке векторов  ,    .

Для левой тройки векторов  .

Получаем,  , где   – объем параллелепипеда построенного на векторах  ,  ,  .