4.10. Порівняння функцій. Еквівалентні функції

Означення. Функції і називаються еквівалентними при , якщо . При цьому пишуть ~ , .

Теорема. Нехай ~ , і ~ , , тоді:

1) ;

2)

при умові, що границі, які розглядаються, існують (скінченні чи нескінченні).

Доведення.

Доведемо тільки друге твердження теореми.

.

Означення. Кажуть, що функція є о-мале від і пишуть при , якщо .

У випадку, коли і – нескінченно малі при , то кажуть, що є нескінченно мала більш високого порядку, ніж , якщо при .

Теорема. Для того щоб виконувалося співвідношення ~ , при необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність

= + при .

Доведення.

Необхідність. Нехай ~ при . Розглянемо границю або = , при .

Достатність. Нехай має місце рівність: = при , тоді

~ при .

Означення. Якщо функцію в околі точки можна подати у вигляді то функція називається головною частиною функції при .

Зокрема, якщо функцію можна подати у вигляді

,

то це означає, що з точністю до нескінченно малих більш високого порядку ніж при функція поводить себе в околі точки як степенева функція .

Приклад. .

Означення. Нехай функції і визначені на множині . Кажуть, що є О-велике від на множині і пишуть , , якщо існує число таке, що виконується нерівність: , .

Зокрема, якщо обмежена на , то пишуть , .