3.5. Підпослідовності

Означення. Послідовність , яка складена з членів послідовності і в якій порядок слідування її членів співпадає з їх порядком слідування в вихідній послідовності , називається підпослідовністю цієї послідовності.

– вихідна послідовність;

– послідовність з натуральних чисел;

– підпослідовність.

Теорема 1. Якщо збіжна послідовність, то будь-яка її підпослідовність збігається до тієї ж границі.

Доведення.

Нехай .

Це означає, що .

Нехай – підпослідовність послідовності . Оскільки нескінченна, то , а значить за принципом Архімеда . Отже, .

Теорема 2. Якщо дві підпослідовності з , об’єднання яких дає , збігаються до однієї і тієї ж границі , то і вся послідовність збігається до .

Теорема 3. (Лема Больцано-Веєрштраса). З будь-якої обмеженої послідовності можна вилучити збіжну підпослідовність.

Доведення.

Нехай – обмежена . Нехай = . Так як – обмежена, то за теоремою про граничну точку множина має хоча б одну граничну точку. Нехай – гранична точка . Тоді в околі знайдеться хоча б один елемент (з послідовності ) відмінний від . Позначимо його через . Продовжуючи процес, одержимо підпослідовність послідовності , причому або . Звідси за теоремою про двох міліціонерів маємо, що .