4.5. Критерій Коші існування границі функції

Нехай функція визначена на множині , і – гранична точка цієї множини.

Означення. Кажуть, що функція задовольняє в точці умові Коші, якщо для , що задовольняють нерівностям виконується нерівність .

Теорема. існує тоді і тільки тоді, коли задовольняє умові Коші в точці .

Доведення.

Необхідність. Нехай існує , тоді . Нехай і виконуються нерівності .

Достатність. Нехай задовольняє умові Коші в точці , тобто , , . Доведемо, що існує.

Нехай , тоді : .

Остання нерівність означає, що послідовність фундаментальна. За критерієм Коші для послідовностей має границю .

Якщо – інша послідовність збіжна до , тобто , то знову матимемо . Покажемо, що .

Утворимо наступну послідовність . Очевидно, ця послідовність збігається до , а значить і послідовність має границю, тому .

Таким чином . Значить існує (за Гейне).