2.1.1. Властивості операцій додавання і множення

1⁰. Єдиність нуля (тільки одне число з має властивість нуля).

2⁰. Єдиність одиниці.

3⁰. Єдиність протилежного елемента.

4⁰. Єдиність оберненого елемента.

5⁰. .

Доведення.

1) Доведемо єдиність нуля.

Припустимо, що крім нуля 0 існує ще один нуль . Тоді в силу 1.3 маємо і . Згідно комутативності (1.1) ліві частини цих рівностей дорівнюють одна одній. Звідси випливає, що .

2) Доведемо єдиність одиниці.

Нехай крім одиниці 1 існує ще одна одиниця . Перемножимо: . З іншого боку: .

3) Доведемо єдиність протилежного елемента.

Припустимо, що крім число має ще одне протилежне число , тобто

і .

Очевидно,

. (*)

З іншого боку,

(**)

Із (*) і (**) випливає що .

5) Доведемо .

За означенням різниці . Тоді

.

2.1.2. Властивості упорядкованості

1⁰. Якщо , то .

2⁰. Якщо , то .

3⁰. виконується одне з трьох співвідношень

, , .

4⁰. Якщо , то .

5⁰. Якщо , то .

6⁰. Якщо , то .

7⁰. Якщо , то .

8⁰. .

2.2. Зображення дійсних чисел у вигляді точок прямої

Розглянемо пряму з вказаним напрямком. Виявляється, що існує бієкція із на цю пряму, при якій число зображається точкою, що лежить праворуч від точки, яка зображає число .

2.3. Абсолютна величина (модуль) дійсного числа

За означенням , .

Властивості модуля

1⁰. ;

2⁰. , ;

3⁰. ;

4⁰. .

2.4. Розширена числова пряма

– розширена множина дійсних чисел (розширена числова пряма).

За означенням приймають:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Невизначеності: , , .

2.4.1. Околи на розширеній числовій прямій

1. Нехай , .

Означення. -околом точки називається множина точок числової прямої, що задовольняють нерівності .

-окіл точки позначається .

радіус околу. окіл точки деякого радіуса.

2. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:

, де будь-яке число.

3. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:

, де – будь-яке число.

4. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:

, де .