2.10. Теорема про скінченне покриття

Теорема. З будь-якої нескінченної системи інтервалів, що покриває заданий відрізок, можна вилучити скінченну систему інтервалів, яка покриває цей відрізок.

Доведення.

Нехай – нескінченна система інтервалів, які покривають заданий відрізок . Це означає, що об’єднання всіх цих інтервалів містить .

Припустимо супротивне, тобто що не покривається ніякою скінченною системою інтервалів з . Поділимо відрізок навпіл, виберемо з двох одержаних відрізків той, що не покривається жодною скінченною підсистемою з і позначимо його через ; . Поділимо відрізок навпіл, виберемо з одержаних відрізків той, що не покривається жодною скінченною підсистемою з і позначимо його через ; . Продовжимо цей процес до нескінченності. Одержимо нескінченну систему вкладених відрізків .

Нехай довжина , довжина . Очевидно, . Таким чином, ми одержали систему вкладених відрізків з довжинами, що прямують до 0. За теоремою про стягувані відрізки існує єдина точка , спільна для всіх відрізків , .

Нехай — той інтервал, що покриває , де . Візьмемо . Існує відрізок . Одержали суперечність, оскільки за побудовою не покривається жодною скінченною підсистемою з , а з іншого боку він міститься в інтервалі . Це і доводить теорему.