2.7. Принцип Архімеда

Теорема. Яке б не було дійсне число , існує таке натуральне , що .

Доведення.

Припустимо супротивне, тобто – обмежена зверху. За теоремою 1 . Тоді число не є верхньою межею . Це означає, що , . Оскільки , то одержимо суперечність тому, що точна верхня межа . Отже, наше припущення неправильне, і .

Наслідок. Які б не були дійсні числа і , існує таке, що .

Доведення.

За принципом Архімеда .