4.9. Важливі границі

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Доведемо першу важливу границю .

Відомо, що при .

Тоді і, оскільки,

, то .

Звідси при за теоремою про двох міліціонерів одержимо:

.

Отже, .

Наслідки.

1) ;

2) ;

3) .

Доведемо другу важливу границю .

Нехай , . Тоді .

.

За означенням границі за Гейне .

Нехай . Позначимо .

Тоді

.

За означенням границі за Гейне .

Таким чином або .

Доведемо .

Дійсно, . Зважаючи на неперервність функції і одержимо .

Доведемо .

Нехай , значить, .

Отже, .

Доведемо .

Нехай .

.

Отже,

.