3.3. Монотонні послідовності. Теорема Веєрштраса

Означення. Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо має місце нерівність: . Незростаючі і неспадні (спадні і зростаючі) послідовності називаються монотонними.

Теорема Веєрштраса.

1. Будь-яка неспадна обмежена зверху послідовність збігається.

2. Будь-яка незростаюча обмежена знизу послідовність збігається.

Доведення.

Нехай – неспадна послідовність, обмежена зверху: , ( – верхня межа). За теоремою про точну верхню межу обмеженої зверху множини, існує скінченна точна верхня межа множини . Нехай .

Доведемо, що . Оскільки , то число не є верхньою межею . Оскільки послідовність неспадна, то при . При це еквівалентно . За означенням .

Аналогічно доводиться друга частина теореми.