5.1. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора

Означення. Нехай функція визначена на множині . Говорять, що рівномірно неперервна на , якщо : , то виконується нерівність .

Теорема Кантора. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.

Доведення.

Припустимо противне, тобто , але .

Розглянемо послідовність додатних чисел , . За припущенням з виконання нерівності випливає, що .

Розглянемо обмежену послідовність . За лемою Больцано – Веєрштраса з неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай .

Розглянемо . Оскільки , то при

.

Отже, . З неперервності функції маємо, тобто , . З іншого боку за припущенням. Одержали суперечність. Значить, наше припущення неправильне. Отже, функція рівномірно неперервна на .

Зрозуміло, що будь-яка рівномірно неперервна функція на множині є неперервною в кожній точці множини . Теорема Кантора стверджує, що обернене є правильним для , якщо є відрізком.