4.2. Границя функції

Означення. Проколотим -околом точки називається її -окіл, з якого вилучена сама точка , тобто

.

Нехай функція визначена на множині , і – гранична точка цієї множини.

Означення границі за Гейне. Точка називається границею функції при прямуючому до (в точці ), якщо для будь-якої послідовності , послідовність має своєю границею точку , тобто .

У цьому випадку пишуть .

Означення границі за Коші. Точка називається границею функції при прямуючому до (в точці ), якщо .

У цьому випадку пишуть .

Теорема. Означення границі функції за Коші і за Гейне еквівалентні.

Доведення.

1. Нехай за Коші. Доведемо, що за Гейне.

Нехай послідовність така, що , . Тоді, оскільки має границю за Коші, то .

Для , .

2. Нехай за Гейне. Доведемо, що за Коші.

Припустимо супротивне, тобто . Нехай , тоді , .

Таким чином, ми вказали послідовність , , яка збігається до , тобто . Ми прийшли до суперечності, значить за Коші.

Розглянемо випадок, коли .

За Гейне: Нехай визначена на множині , яка не обмежена зверху. Кажуть, що , якщо .

За Коші: , якщо для , .