3.2. Арифметичні операції зі збіжними послідовностями

Теорема 9.

1) Якщо , – нескінченно малі послідовності, то – нескінченно мала послідовність (сума і різниця нескінченно малих є нескінченно мала).

2) Якщо – нескінченно мала, – обмежена послідовність, то – нескінченно мала (добуток нескінченно малої на обмежену є нескінченно мала).

3) Якщо – нескінченно велика, то – нескінченно мала.

4) Якщо – нескінченно мала, , то – нескінченно велика.

Доведення.

1. ; .

Позначимо , тоді

.

2. – обмежена послідовність , .

Тоді маємо .

Теорема 10. Якщо є дві збіжні послідовності і , , то:

1. ;

2. ;

3. при .

Доведення.

За теоремою 8 маємо: , , де – нескінченно малі.

1. . За теоремою 9 – нескінченно мала, значить за теоремою 8:

.

2. . За теоремою 9 – нескінченно мала, значить за теоремою 8:

.

3.

Очевидно, вираз в квадратних дужках є нескінченно мала. Доведемо, що – обмежена. . Оскільки , то для числа . Тому при – обмежена. За теоремою 9 – нескінченно мала, за теоремою 8 .