Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть   — квадратная матрица размера  . Пусть также задан некоторый номер строки   либо номер столбца   матрицы  . Тогда определитель   может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по  -й строке:

Разложение по  -му столбцу:

где   — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером   и столбце с номером  .   также называют алгебраическим дополнением к элементу  .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить   равным 1 и выбрать  -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.