3.6. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші

Означення. Кажуть, що послідовність задовольняє умові Коші або є фундаментальною, якщо для .

Теорема. Якщо фундаментальна, то вона обмежена.

Доведення.

Дійсно, візьмемо . Візьмемо . Якщо , то . Таким чином, при всі члени послідовності знаходяться в околі точки радіуса 1, а поза цим околом знаходиться лише скінченне число членів послідовності. Отже, вся ця послідовність обмежена.

Теорема Коші (критерій збіжності Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Доведення.

Необхідність. Нехай збіжна і . Доведемо фундаментальність .

Нехай , тоді, оскільки , то знайдеться таке число . В якості візьмемо , тоді . Отже, – фундаментальна.

Достатність. Нехай - фундаментальна. Тоді .

Так як фундаментальна послідовність обмежена, то у неї є збіжна підпослідовність . Нехай . Тоді для того ж

.

Позначимо через . Нехай , де . Тоді при

.

Отже, .