22. Алгоритм Евклида в кольце многочленов?

Алгори́тм Евкли́да — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.Кольца, в которых применим алгоритм Евклида, называются евклидовыми кольцами. К ним относятся, в частности, кольца многочленов.Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида естественным образом обобщается на кольцо многочленов k[x] от одной переменной над произвольным полем k, поскольку для таких многочленов определена операция деления с остатком. При выполнении алгоритма Евклида для многочленов аналогично алгоритму Евклида для целых чисел, получается последовательность полиномиальных остатков (PRS).

Пример для кольца Z[x].Пусть cont(f) по определению — НОД коэффициентов многочлена f(x) из Z[x] — содержание многочлена. Частное от деления f(x) на cont(f) называется примитивной частью многочлена f(x) и обозначается primpart(f(x)).эти определения понадобятся для нахождения НОД двух многочленов p1(x) и p2(x) в кольце Z[x]. Для многочленов над целыми числами верно следующее:

НОД НОД , НОД НОД .

Таким образом задача отыскания НОД двух произвольных многочленов сводится к задаче отыскания НОД примитивных полиномов.Пусть есть два примитивных многочлена p1(x) и p2(x) из Z[x], для которых выполняется соотношение между их степенями: deg(p1(x)) = m и deg(p2(x)) = n, m > n. Деление многочленов с остатком предполагает точную делимость старшего коэффициента делимого на старший коэффициент делителя, в общем случае деление с остатком выполнить невозможно. Поэтому вводят алгоритм псевдоделения, который всё же позволяет получить

псевдочастное и псевдоостаток (prem), которые будут сами по себе принадлежать множеству многочленов над целыми числами.