Преобразования Фурье и Лапласа

Для анализа колебательных процессов используют ряды Фурье. Как правило, используется комплексная форма ряда Фурье.

При наличии некоторых ограничений функцию , заданную на отрезке [0; T ], можно записать в виде , где. Для приближенного вычисления коэффициентовприменим формулу прямоугольников. Отрезок [0; T ] разобьем на N частей точками ,,…,и обозначим. Тогда

и соответственно

. (9)

Здесь мы видим, что коэффициент , вычисляемый приближенно, т.е., не зависит от длины отрезка [0;T ], а зависит только от числа узлов N и значений функции в этих узлах.

Покажем, что

(10)

при любом целом k. Действительно

.

Так как для любого целогоm, то .

В силу этого свойства коэффициентов имеет смысл вычислять эти коэффициенты лишь приN последовательных значениях индекса q.

Составим функцию . Несложно показать, что на узлахвыполняется равенство, т.е. в наших обозначениях. Однако вне узлов на [0;T ] расхождение значений может быть весьма большим даже при больших N. Например, возьмем функцию . Подсчет показывает, что для нее,,при.

Таким образом,

.

Возьмем . Получим

.

Если число N большое, то . В итоге получили, что расхождение равно приближенно.

Такого большого расхождения функций вне узлов решетки можно избежать. В силу (10) , т.е. коэффициентыможно брать и с отрицательными индексами. Положим

.

Для этой функции при любом выполняется условие, если.

Равенство называется тригонометрической интерполяцией функцииf(x), коэффициенты называются дискретными коэффициентами Фурье.

Так как , то соответствие между векторамииявляется взаимно однозначным. Здесь мы предположили, чтоN – четное число.

Преобразование называется дискретным преобразованием Фурье, а преобразование– обратным дискретным преобразованием Фурье.

Из общего курса математики известно, что для функций, заданных на всей оси, при некоторых ограничениях определено преобразование Фурье в комплексной форме , где, и обратное преобразование Фурье,. Это так называемая симметричная форма преобразований Фурье. Кроме этих формул используются и другие формулы, отличающиеся от них коэффициентами перед интегралами и знаками в показателе экспоненты. Это объясняется тем, что инженеров обычно интересует, как величина амплитудызависит от частоты, а само значение этой амплитуды является несущественным. Функцияназывается спектральной плотностью или спектральной функцией функции.

В системе MATHCAD 14 при символьных преобразованиях используются несимметричные формулы преобразований Фурье:

(11)

(12)

В более ранних версиях системы знаки показателей экспоненты – противоположные. Следует помнить, что преобразование Фурье применяется только к абсолютно интегрируемым функциям, т.е. к функциям, для которых сходится несобственный интеграл. Последнее не означает, что этот интеграл можно вычислить, используя таблицу интегралов. (Если интеграл расходится, то результатом преобразования Фурье может оказаться обобщенная функция. Этот математический объект в некотором отношении похож на функцию, но в действительности функцией не является.) Если говорить грубо, то сходимость интегралаозначает, чтопри, причем довольно быстро, быстрее, чем. Функций, которые записываются с помощью элементарных функций и удовлетворяют поставленным условиям, сравнительно мало.

Дискретное преобразование Фурье является некоторым приближением преобразования Фурье. Понимать это нужно так. Пусть преобразование Фурье применяется к функции и дает спектральную функцию. Выделим отрезок [a; b], вне которого функция мала и на котором отражены наиболее важные черты графика. Длину этого отрезка обозначим черезT. Разобьем отрезок на N частей (N – большое число) и найдем дискретное преобразование Фурье с периодом T. Если в преобразовании Фурье использовалась формула (11), то . Равенство будет тем точнее, чем больше величиныT и N.

Преобразование Лапласа достаточно подробно рассматривалось в общем курсе математики. Так как вMATHCAD это преобразование выполняется только в символьном виде, то здесь мы на этом преобразовании останавливаться не будем.