2.9. Незліченність відрізка

Теорема. Відрізок – незліченна множина.

Доведення.

Припустимо супротивне: — зліченна множина. Це означає, що множина . Поділимо її (відрізок) на три рівні частини. З трьох одержаних відрізків розглянемо той , який не містить , позначимо його через , причому його довжина . Поділимо на три рівні частини. Нехай відрізок (одна з трьох частин відрізка ) не містить , . Продовжуючи цей процес, одержимо систему вкладених відрізків , причому , їхні довжини . З принципу Архімеда випливає, що . За попередньою теоремою існує єдина точка спільна для всіх відрізків , при цьому: ; .

Ми прийшли до суперечності. — незліченна множина.