24. Корни многочленов. Простые и кратные формы?
Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида , (8.1)
где - комплексные числа. Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n — его степенью.
Определение 8.1. Два многочлена Pn (z) и равны тогда и только тогда, когда m=n, a0 = b0 , a1 = b1 ,…, an = bn .
Определение 8.2. Число z0 называется корнем многочлена (8.1), если Pn (z0) = 0.
Теорема 8.1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(z) на z — z0 ( z0 — не обязательно корень многочлена) равен P(z0).
Доказательство. Разделив P(z) на z — z0 , получим: P(z) = Q(z)(z — z0) + r, где число r — остаток от деления, а Q(z) — многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z0 найдем, что r = P(z0), что и требовалось доказать.
Теорема 8.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства).
Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители.
Пусть Pn (z) — многочлен степени n, а z1 — его корень. Тогда по теореме Безу Pn (z) можно представить в виде:
Pn (z) = (z — z1) Qn-1 (z),
где Qn-1 — многочлен степени n — 1. Если при этом Qn-1 (z1) = 0, его вновь можно представить как ( z — z1 )Qn-2 (z), a Pn (z) = (z — z1)Qn-2 (z).
Определение 8.3. Натуральное число k1 называется кратностью корня z1 многочлена Pn (z), если этот многочлен делится на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым, а корень кратности, большей 1, - кратным.
Итак, если z1 — корень Pn кратности k1 , то Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен тоже имеет корень. Обозначим его z2 , а его кратность k2 . Тогда а , (8.2)
где Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители.Корень многочлена (не равного тождественно нулю)
над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:данный многочлен делится на многочлен ;подстановка элемента c вместо x обращает уравнение в тождество.
Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.
Свойства
Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.Всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) . Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).Более того, многочлен с вещественными коэффициентами можно записать в виде
где — (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.
- Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- Описание
- Достоинства метода
- Следствия
- Свойства определителей
- 10. Теорема о разложении определителей по строкам, по столбцам:
- Формулировка
- Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
- Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)
- 11. Теорема Крамера
- Описание метода
- Вычислительная сложность
- 12. Теорема о определителях произведении матриц?
- 13. Теорема о нахождении обратной матрицы с помощью алгебраической дополнении
- 14. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарной преобразовании
- 15. Поле комплексных чисел. Алгебраическая формула комплексных чисел
- Алгебраическая форма
- 18. Нахождения корня комплексного числа в тригонометрической форме?
- Операции над многочленами.
- 21. Деление с остатком в кольце многочленов?
- 22. Алгоритм Евклида в кольце многочленов?
- 23. Нод и нок двух многочленов?
- 24. Корни многочленов. Простые и кратные формы?
- 25. Деление многочленов на двух член! Схема Хорнера?
- 26 Неприводимый многочлен и их свойства
- Определение
- Свойства
- 27 Основная теорема поля комплексных чисел без доказательства и ее следствия
- Некоторые следствия из аксиом поля
- Определение поля комплексных чисел
- 28 Неприводимые многочлены над полем действительных чисел?
- Определение
- Свойства
- Примеры
- Конечные поля
- 29 Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна?
- 30 Векторная пространства. Линейная оболочка векторов?
- 31. Базис и ранг системы векторов?
- 32. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
- 33. Признаки линейной зависимости векторов
- 34 Необходимые и достаточные условия линейной независимости систем векторов?
- 35 Линейная зависимость двух векторов на прямой
- 36 Линейная зависимость трех векторов на плоскости
- 37 Линейная зависимость четырех векторов в пространстве
- 38 . Базис и размерность над пространством
- 39 Координаты вектора в данном базисе . Координаты точки
- 40 Скалярное произведение векторов свойства
- 2.Свойтсва скалярного произведения векторов.
- 43. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведения.
- Геометрические свойства векторного произведения
- 44.Аффинная система координат. Прямоугольная система координат?
- 45 Радиус Вектора Расстояние между двумя точками
- 46 Уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- Уравнение прямой, проходящей через две точки
- Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- 47 Нормальный и направляющий вектор на прямой
- 48 Расположение двух прямых Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- 49.Угол между двумя прямыми
- 50.Расстояние от точки до прямой