2.6. Точна верхня і точна нижня межі множини

Означення. Нехай – обмежена зверху множина. Її точною верхньою межею називається мінімальний елемент у множині її верхніх меж.

Нехай – обмежена зверху множина. Число – точна верхня межа множини , якщо:

1) – верхня межа ;

2) будь-яке число менше за не є верхньою межею , тобто якщо , то .

Позначення: (sup - supremum).

Означення. Нехай – обмежена знизу множина. Її точною нижньою межею називають максимальний елемент у множині її нижніх меж.

Нехай – обмежена знизу множина. Число – точна нижня межа множини , якщо:

1) – нижня межа ;

2) будь-яке число більше за не є нижньою межею , тобто якщо , то .

Позначення: (inf - infimum).

Теорема 1 (про існування точної верхньої межі). Нехай обмежена зверху множина. Тоді її точна верхня межа існує.

Доведення.

Позначимо через множину верхніх меж множини , . Тоді для і виконується нерівність . За аксіомою 5 для , . Тому верхня межа , – мінімальний елемент множини . Отже, .

Теорема 2 (про існування точної нижньої межі). Нехай обмежена знизу множина. Тоді її точна нижня межа існує.

Доведення аналогічне доведенню теореми 1.

У випадку якщо множина необмежена зверху, то пишуть .

У випадку якщо множина необмежена знизу, то пишуть .