3.1. Теореми про границі

Теорема 1. Збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення.

Припустимо супротивне, що і причому . Розглянемо околи точок і радіуса .

Ці околи мають порожній перетин. Оскільки , то поза околом точки міститься лише скінченне число членів послідовності. З іншого боку, оскільки то в окіл точки попадають всі члени послідовності, починаючи з деякого номера. Приходимо до суперечності, тобто послідовність має лише одну границю.

Теорема 2. Будь-яка збіжна послідовність є обмеженою.

Доведення.

Нехай . Візьмемо окіл точки радіуса 1, тобто . Нехай , тоді , ( - точки, що не потрапили в окіл ).

Теорема 3. Якщо , то .

Доведення.

Маємо нерівність . Оскільки , то

. Тоді при . За означенням .

Зауваження. Обернене твердження не має місця, але .

Теорема 4 (теорема про двох міліціонерів). Нехай є три послідовності: , , причому . Тоді якщо .

Доведення.

Оскільки , то . Оскільки , то існує .

Позначимо через , тоді .

Теорема 5. Нехай , . Тоді існує такий номер , що при виконується нерівність: .

Доведення очевидне.

Зауваження. Якщо до збіжної послідовності добавити чи прибрати з неї скінченне число членів, то одержимо нову послідовність, що збігається до тієї ж границі.

Теорема 6. Нехай . Тоді існує такий номер , що при виконується нерівність: .

Доведення (див. теорему 5).

Теорема 7. Нехай , , , тоді .

Доведення.

Припустимо, що . Візьмемо . Тоді і одночасно . Візьмемо тоді , , що суперечить . Значить .

Зауваження. В умовах теореми границі можуть дорівнювати одна одній.

Приклад: , , , .

Теорема 8. тоді і тільки тоді, коли , де — нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Необхідність. . Нехай , тобто . Тоді або . Нуль – границя , , нескінченно мала, .

Достатність. Нехай , – нескінченно мала. Оскільки нескінченно мала, то : . Отже, .

Приклади.

1. Довести, що .

Доведення.

Нехай . За принципом Архімеда : . Тоді при .

2. Довести, що якщо , то .

Доведення.

,

.

візьмемо . Очевидно, .

3. Довести, що , .

Доведення.

Нехай , , .

Нехай .

4. Довести, що

Доведення.

При маємо: (при ) .

5. Довести, що

Доведення.

Нехай ,

.

6. Довести, що

Доведення.

З попереднього прикладу випливає, що : , .