2.8. Принцип вкладених відрізків

Означення. Система відрізків називається системою вкладених відрізків, якщо для .

Теорема. Система вкладених відрізків має непорожній переріз.

Доведення.

Нехай задано систему вкладених відрізків .

Тоді для має місце нерівність . Дійсно, якщо , якщо ж , то .

Скористаємося аксіомою 5: , зокрема , тобто належить перетину всіх відрізків .

Означення. Нехай множина невід’ємних чисел . Кажуть, що послідовність прямує до нуля і пишуть: , якщо .

Теорема (про стягувані відрізки). Нехай система вкладених відрізків, причому їхні довжини прямують до нуля, тобто . Тоді ця система має єдину точку перетину, тобто існує єдина точка , спільна для всіх відрізків.

Доведення.

За попередньою теоремою перетин відрізків не є порожнім. Припустимо, що в перетині є дві різні точки , . Нехай , тоді, оскільки , то , . Це означає, що перетин не є порожнім і складається не більше ніж з однієї точки.

Наслідок. В умовах теореми єдиною точкою перетину є число :

.