21. Деление с остатком в кольце многочленов?

Теорема 1.13.8 (алгоритм деления с остатком в кольце многочленов). Для любых многочленов , , существуют (и притом единственные) многочлены такие, что:

1)f(x)=g(x)q(x)+r(x) ;

2)либо r(x)=0, либо , .

Доказательство-алгоритм (деление многочленов столбиком).

Пусть f(x) = anxn+...+a1x+a0, g(x) = bsxs+...+b1x+b0, .

Если n<s, то утверждение 1) очевидно:

Пусть . Тогда:

Складывая все эти равенства и сокращая, получаем

т. е. f(x)=q(x)g(x)+r(x), где

Если f(x)=g(x)q(x)+r(x)=g(x)q'(x)+r'(x), при этом r(x),r'(x) или равны нулю, или имеют степень, меньшую чем , то g(x)(q(x)-q'(x))=r'(x)-r(x). Если , то получаем противоречие, поскольку степень левой части , а многочлен в правой части или нулевой, или его степень . Итак, q(x)=q'(x), и поэтому r'(x)=r(x).

Замечание 1.13.9. Если K - подполе поля K' (например, ), , f(x)=g(x)q(x)+r(x) - деление с остатком в кольце многочленов K'[x], то .