50.Расстояние от точки до прямой

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если точка M0∈l , то ρ(M0,l)=0 (расстояние от точки M0 до прямой l) Для всякой точки M2/=M1 M0M2>M0M1 

Найдем ρ(M0,l) - ? Oi→j→−  прямоугольная система координат;

M0(x0,y0);M1(x1,y1);

−−−−−−−→M0M1⊥l  и −→n⊥l ;

−−−−−−−→M0M1∣∣−→n , тогда

−−−−−−−→M0M1·−→n=∣ ∣  −−−−−−−→M0M11∣ ∣  ·∣−→n∣(±1) 

−−−−−−−→M0M1(x1−x0,y1−y0);−→n(A,B); 

−−−−−−−→M0M1·−→n=A(x1−x0)+B(y1−y0)=Ax1+By1−(Ax0+By0),  т.к. M1(x1,y1)∈l⇒Ax1+By1+C=0 , следовательно, последнее выражение можно переписать в виде:

−−−−−−−→M0M1·−→n=A(x1−x0)+B(y1−y0)=−(С+Ax0+By0) 

Длина вектора −−→∣n∣=√A2+B2  Подставим все в выражение (1): −(С+Ax0+By0)=±ρ(M0,l)√A2+B2 

Откуда получим конечное выражение для нахождения расстояния от точки до прямой:

ρ(M0,l)=√A2+B2∣ ∣  Ax0+By0+С∣ ∣