Нахождение экстремумов функции

Чтобы грубо найти экстремум функции одного переменного, можно построить график функции и, отслеживая значения функции с помощью панели X-Y Trace, установить точки ее максимума и минимума. Например, пусть

График функции приведен на рис. 43.

По графику видно, что функция имеет два минимума и два максимума. За пределами рисунка функция не будет иметь экстремумов, так как слагаемое растет быстрее остальных слагаемых, и поведение графика будет определяться именно этим членом. С помощью панелиX-Y Trace устанавливаем, что функция имеет точки минимума (0,79; −1,0868) и (−0,77; 1.0854). Точки максимума функции: (−0.13; 2.1256), (− 1.33; 1.8783).

Чтобы более точно найти экстремумы, можно найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить получившееся уравнение. Все эти операции можно выполнить с помощью системы МС.

Другой способ – воспользоваться функциями Minimize и Maximize. Эти функции можно вызвать с помощью кнопки f(x) на панели инструментов. В раскрывшемся окне слева нужно выбрать пункт Solving, а в окне справа указать нужную функцию. Функции Minimize и Maximize всегда используются в блоке с ключевым словом given. Перед блоком нужно задать начальную точку. Внутри блока указываются ограничения на переменные. Эти ограничения задают область поиска экстремума. Завершается блок самой функцией Minimize или Maximize, аргументами которой служат имя функции и переменные, по которым ведется поиск экстремума. Лишние шаблоны аргументов нужно удалить.

Для нашей задачи

given

Видим, что найденное значение практически совпадает с полученным ранее. Находим остальные точки экстремума. Естественно, нужно воспользоваться возможностью копирования и правки формул:

given

given

given

Обратим внимание на следующую неприятную особенность функций Minimize и Maximize. Если в последнем вычислении максимума точку −4 заменить точкой −2, то функция возвращает значение −0.127, что соответствует другой точке локального максимума. Если бы мы не определили по графику, что точек максимума две, то могли принять ошибочное решение: пропустить одну из них. Еще один пример. Возьмем x равным −10 и попробуем вычислить функцию Minimize. Система откажется выдать результат. Выдаваемое сообщение об ошибке, к сожалению, не соответствует ситуации.

С помощью указанных функций поиска экстремума можно решать задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

given

given

Попробуйте в этих двух блоках менять начальные точки и увидите, что иногда в качестве ответа выдаются точки локального экстремума. Вывод: применение функций Minimize и Maximize требует предварительного знания о поведении исследуемой функции.