4.4. Властивості функцій, що мають границю

Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень обмежена зверху (знизу), тобто, якщо ( ).

Означення. Функція називається обмеженою на якщо вона обмежена зверху і знизу.

Очевидно, що обмежена на тоді і тільки тоді, коли .

1⁰. Якщо існує , то функція обмежена в деякому проколотому околі точки . (доведення за допомогою означення границі за Коші).

2⁰. Якщо і , то:

;

;

(доведення за допомогою означення границі за Коші).

3⁰. Якщо , то .

4⁰. Якщо , і , то .

5⁰. Якщо і існують , то .

6⁰. Якщо існують скінченні границі , , то:

1)

2) ;

3) , ;

(доведення властивостей 3 – 6 можна провести за допомогою означення границі за Гейне і відповідних властивостей збіжних послідовностей).