Число обусловленности матрицы

Решим систему уравнений

(13)

Решать эту систему символьно бессмысленно, так как запись коэффициентов уже предполагает наличие ошибок округления. Создадим матрицу системы и столбец свободных членов: ,. Находим,. Вроде бы получили приемлемый ответ. Изменим на 0.0001 свободный член в третьем уравнении. Получим,. Видим, что ответ изменился очень сильно, более чем на 100 по двум компонентам. Так как изменение условий было сделано на границе точности задания коэффициентов, то полученный ранее ответ с точки зрения инженера является неприемлемым. Выясним ранг матрицы:rank(A) = 3. Следовательно, решение системы действительно существует. Найдем число обусловленности матрицы A. Для этой цели имеются три функции, соответствующие трем разным нормам вектора и соответственно трем разным нормам матрицы. Это функции cond1(■), cond2(■), condi(■). Есть еще одна функция обусловленности conde(■), но она с точки зрения математики плохо обоснована, так как соответствует норме матрицы, в которой норма единичной матрицы отлична от 1. Для любопытства вычислим число обусловленности всеми четырьмя способами (на самом деле достаточно одного способа): ,,,. Видим, что в любом варианте число обусловленности матрицыA получилось очень большим, то есть система уравнений является плохо обусловленной.

Из анализа решения системы уравнений (13) получаем вывод, аналогичный выводу, сделанному ранее. Если вы решали систему линейных уравнений с помощью системы MATHCAD (впрочем, и любой другой), то нужно проверить, не является ли система вырожденной или плохо обусловленной, согласуются ли результаты с тем, что ожидалось.