4.7. Границі і неперервність монотонних функцій

Означення. Функція називається неспадною (незростаючою) на , якщо виконується нерівність ( ).

Якщо знаки нерівностей між значеннями функції строгі, то говорять відповідно про зростаючу і спадну функції.

Позначення:

– зростаюча, неспадна функція;

– спадна, незростаюча функція.

Означення. Функція називається монотонною, якщо вона є зростаючою (неспадною), або спадною (незростаючою).

Теорема 1. Якщо функція є монотонною на , , то існують односторонні границі і .

Доведення.

Нехай . Розглянемо образ інтервалу при відображенні . Множина обмежена зверху, , а значить має точну верхню межу. Позначимо її .

Доведемо, що . Візьмемо довільне . Число не є верхньою межею , це означає, що . Візьмемо , тоді : . Значить, .

Таким чином, для ми вказали , тобто за означенням Коші .

Аналогічно доводиться існування .

Зауваження. Якщо функція визначена і монотонна на відрізку , то вона має в точці правосторонню границю, а в точці лівосторонню.

Будемо говорити, що функція неперервна на відрізку , якщо вона неперервна на а також в точці неперервна справа, а в точці – зліва.

Теорема 2. Нехай - монотонна функція на відрізку , значення якої заповнюють відрізок, тоді неперервна на .

Доведення.

Розглянемо внутрішню точку і доведемо, що в точці неперервна.

Для визначеності нехай . Очевидно, існують і . Припустимо, що . Тоді для : (точка існує, оскільки значення функції заповнюють відрізок). Очевидно, в силу монотонності функції, і оскільки .

Одержали суперечність, оскільки . Отже, припущення неправильне, і .

Аналогічно одержимо .

Таким чином, , тобто неперервна в точці .

Аналогічно доводиться неперервність функції в точці справа і в точці зліва.