38 . Базис и размерность над пространством

Определение. Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства. Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях. Рассмотрим пространство n-мерных векторов. Покажем, что размерность этого пространства равна n. Возьмем систему из n единичных векторов вида Примем эти векторы в качестве строк матрицы А. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ранг матрицы: определение, методы нахождения). Следовательно, система векторов линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы являются базисом этого пространства. Из последнего утверждения и определения базиса можно сделать вывод, что любая система n-мерных векторов, число векторов в которой меньше n, не является базисом.Теперь переставим местами первый и второй вектор системы . Легко показать, что полученная система векторов также является базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n. Таким образом, система из n векторов линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.Если переставить местами другие векторы системы , то получим еще один базис.Если взять линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n-мерного векторного пространства.