4.8. Неперервність елементарних функцій

1. Будь-який многочлен є неперервним на всій числовій прямій.

Якщо , то неперервна. Справді, для .

Функція неперервна на числовій прямій. Дійсно, для . , якщо - неперервна.

Функція - неперервна, як добуток неперервних функцій .

Многочлен - одержано з функцій і за допомогою арифметичних операцій, отже, він є неперервним на всій числовій прямій.

2. Дробово-раціональна функція , де - неперервні многочлени, є неперервною для : .

3. Ірраціональні і дробово-ірраціональні функції неперервні. - неперервна при і , тоді неперервна на .

- неперервна, як суперпозиція неперервних функцій.

4. Тригонометричні і обернені тригонометричні функції неперервні.

.

, .

.

З останньої нерівності випливає, що (справедливо для ).

Далі, нехай

і - неперервна на .

- неперервна на .

и неперервні на своїх областях визначення.

, , , - неперервні за наслідком як обернені функції до неперервних.

5. - неперервна. Доведемо, що . Нехай , тоді , , . Для : виконується , , отже, . Для : виконується , отже , , тобто .

Нехай , . Отже, . Це означає, що , отже, - неперервна.

6. - неперервна, як обернена до (неперервної і монотонної).

Теорема. Будь-яка елементарна функція неперервна в своїй області визначення.