35 Линейная зависимость двух векторов на прямой

Определение: Система векторов

называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная

линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место

равенство , при

.

Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.

Определение: Система векторов

называется линейно независимой, если равенство нулю линейной

комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из

того, что следует

.

Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта

система является линейно зависимой.

Действительно, из векторов системы

можно составить линейную комбинацию

, которая не является тривиальной.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система

векторов линейно зависима.

Действительно, если система векторов

линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация

. Для любой системы векторов

линейная комбинация также

является нетривиальной.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух

векторов является их коллинеарность.

Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю

любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не

нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на

числовой множитель. Запишем это:

. Но эта же запись означает, что

, и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю.

Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора

и линейно зависимы. Тогда

существуют коэффициенты λ и μ такие, что

, причем, например, λ ≠ 0. Это означает, что

, и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами

и , может быть представлен в

виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа

λ и μ, что ). Такое

представление единственно.

Заметим, прежде всего, что оба вектора

и отличны от нуля, так как если

бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор

коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из

второго раздела.

В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через

конец C вектора

проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам

и . Тогда

, причем векторы и

коллинеарны соответственно и

. В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие

числа λ и μ, что ,

. Таким образом, , что и

требовалось.

Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация

, равная , причем, например

λ ≠ σ. Тогда ,

так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C

параллельно вектору . Из

последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим

предположением.