Собственные числа и собственные векторы матрицы

Для нахождения собственных чисел матрицы в МС служит функция eigenvals(■). Эта функция вызывается с помощью кнопки f(x) на панели инструментов, группа функций Vector and Matrix. Результатом действия служит вектор, компонентами которого являются собственные числа. Каждое собственное число встречается столько раз, какова его кратность.

Для нахождения всех собственных векторов используется команда eigenvecs(■). Она вычисляет матрицу, столбцами которой служат собственные векторы, соответствующие собственным числам, полученным командой eigenvals(■). Есть еще одна команда eigenvec(■,■), которая вычисляет только один собственный вектор, соответствующий собственному числу, указанному во втором аргументе.

Рассмотрим пример. Создадим матрицу . Найдем собственные числаи собственные векторы. Таким образом, собственному числу 3 соответствует собственный вектор, равный первому столбцу, а числу − 2 — вектор. Попробуем выполнить эти же действия с помощью символьных операций. В результате получим те же собственные числа, а собственные векторы будут заданы матрицей. Собственные векторы отличаются от полученных ранее. Проверим их соответствие собственным числам:

,

.

Видим, что первый столбец матрицы собственных векторов соответствует второму собственному числу, а второй столбец – первому собственному числу. Если первый столбец матрицы собственных векторов умножить на число, то получим второй столбец из матрицы собственных векторов, вычисленной с помощью знака =. Если второй столбец умножить на число, то получим первый столбец из матрицы собственных векторов, вычисленной с помощью знака =. Такое расхождение в соответствии собственных чисел и собственных векторов при использовании вычислительных и символьных методов наблюдается только в МС14. В более ранних версиях МС при символьных вычислениях порядок собственных векторов соответствует порядку собственных чисел.